Cálculo Exemplos

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $t$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $500$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ em relação a $t$ é $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Etapa 3.1.2

Reescreva $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ como ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.3.3

Como $12$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Etapa 3.3.5

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 e^{- 0.5 t}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Etapa 3.3.6

Multiplique $5$ por $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.5 t$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $- 0.5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.5 t$ em relação a $t$ é $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 0.5$ por $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $e^{- 0.5 t}$ por $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os fatores de $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

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Etapa 3.6.3.1

Combine $\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ e $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Etapa 3.6.3.2

Combine $\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$