Cálculo Exemplos

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $q$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $4 q e^{q^{9}}$ em relação a $q$ é $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ é $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ , em que $f (q) = q$ e $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = e^{q}$ e $g (q) = q^{9}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.5

Eleve $q$ à potência de $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $8$ e $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.7.2

Mova $9$ para a esquerda de $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Etapa 3.9

Multiplique $e^{q^{9}}$ por $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Etapa 3.10.3

Reordene os termos.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Etapa 3.10.4

Reordene os fatores em $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$