Cálculo Exemplos

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = b^{2}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = b$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [b]$ como $b'$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $a^{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ e $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{2} b^{2}$ em relação a $x$ é $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = b$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [b]$ como $b'$ .

$2 a^{2} b b'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

Etapa 5

Resolva $b'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 a^{2} b b'$ dos dois lados da equação.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2 b^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.3

Fatore $2 b b'$ de $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 b b'$ de $2 x^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 b b'$ de $- 2 a^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 b b'$ de $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ .

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ por $2 b (x + a) (x - a)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ por $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $b$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $x + a$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.4

Cancele o fator comum de $x - a$ .

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Etapa 5.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.2.4.2

Divida $b'$ por $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 b^{2} x$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 b (x + a) (x - a)$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Etapa 5.5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

Etapa 5.5.3.2

Cancele o fator comum de $b^{2}$ e $b$ .

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Etapa 5.5.3.2.1

Fatore $b$ de $- b^{2} x$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

Etapa 5.5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.2.1

Fatore $b$ de $(b (x + a)) (x - a)$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Etapa 5.5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Etapa 5.5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

Etapa 5.5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

Etapa 6

Substitua $b'$ por $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$