Cálculo Exemplos

${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ e $g (t) = 4 t^{2} - 6 t + 10$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 t^{2} - 6 t + 10$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t^{2}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + \frac{d}{d t} [10])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + 0)$

Etapa 5.2

Some $8 t - 6$ e $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine os termos.

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Etapa 6.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (8 t - 6)$

Etapa 6.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Etapa 6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Etapa 6.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 2}{2}} (8 t - 6)$

Etapa 6.1.4.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}} (8 t - 6)$

Etapa 6.1.5

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de $\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$ .

$(8 t - 6) \frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2}$