Cálculo Exemplos

$y = \frac{t^{2} + 3}{{(5 t - 2)}^{9}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2} + 3$ e $g (t) = {(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{({(5 t - 2)}^{9})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 t - 2)}^{9})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{9 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 2.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{9}$ e $g (t) = 5 t - 2$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 {(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 4.2

Fatore ${(5 t - 2)}^{8}$ de $2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore ${(5 t - 2)}^{8}$ de $2 {(5 t - 2)}^{9} t$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 4.2.2

Fatore ${(5 t - 2)}^{8}$ de $- 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 4.2.3

Fatore ${(5 t - 2)}^{8}$ de ${(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore ${(5 t - 2)}^{8}$ de ${(5 t - 2)}^{18}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t - 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 7

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + 0)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) \cdot 5}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 11.2

Multiplique $5$ por $- 9$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (5 t) + 2 \cdot - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.4.1.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 12.4.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (5 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4.1.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{2 (5 t^{2}) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4.1.4

Multiplique $- 45$ por $3$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.4.2

Subtraia $45 t^{2}$ de $10 t^{2}$ .

$\frac{- 35 t^{2} - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.5

Fatore $- 1$ de $- 35 t^{2}$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.6

Fatore $- 1$ de $- 4 t$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - (4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.7

Fatore $- 1$ de $- (35 t^{2}) - (4 t)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.8

Reescreva $- 135$ como $- 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.9

Fatore $- 1$ de $- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.10

Reescreva $- (35 t^{2} + 4 t + 135)$ como $- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)$ .

$\frac{- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Etapa 12.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{35 t^{2} + 4 t + 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$