Cálculo Exemplos

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{9}$ e $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $b$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $\frac{b}{a + z^{2}}$ em relação a $a$ é $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{a + z^{2}}$ como ${(a + z^{2})}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = a + z^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + z^{2}$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Etapa 4.3

Como $z^{2}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $z^{2}$ em relação a $a$ é $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

Etapa 5.2

Combine $b$ e $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $9$ e $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ .

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ por $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.5

Some $1$ e $8$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Etapa 6.2.6

Multiplique ${(a + z^{2})}^{8}$ por ${(a + z^{2})}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

Etapa 6.2.6.2

Some $8$ e $2$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$