Cálculo Exemplos

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 20000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $t$ é $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + 0.2 t$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.6

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.7

Como $0.2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.2 t$ em relação a $t$ é $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.9

Multiplique os expoentes em ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.15

Multiplique $0.2$ por $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.16

Some $0$ e $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.17

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.18

Combine $\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.19

Mova $0.2$ para a esquerda de ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.20

Mova ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.21

Combine $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.22

Mova ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23

Multiplique ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + 0.2 t$ somando os expoentes.

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Etapa 2.23.1

Mova $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23.2

Multiplique $1 + 0.2 t$ por ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.23.2.1

Eleve $1 + 0.2 t$ à potência de $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.23.5

Some $2$ e $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.24

Multiplique $- 1$ por $- 20000$ .

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.25

Combine $20000$ e $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.26

Multiplique $20000$ por $0.2$ .

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.27

Fatore $2$ de $4000$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.28

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.28.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.28.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 2.28.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Etapa 3

Como $c$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $c$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Some $\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$