Cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = v^{6}$ e $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ é $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , em que $f (v) = v$ e $g (v) = v^{3} + 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $v^{3} + 1$ por $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v^{3} + 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $1$ em relação a $v$ é $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3 v^{2}$ e $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique $v$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $v^{2}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $v^{2}$ por $v$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $2$ e $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Subtraia $3 v^{3}$ de $v^{3}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $6$ e $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ por $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Multiplique ${(v^{3} + 1)}^{5}$ por ${(v^{3} + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

Etapa 6.2.3.2

Some $5$ e $2$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$