Cálculo Exemplos

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

Etapa 4.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

Etapa 5.6

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

Etapa 5.7

Combine $\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $4$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

Etapa 5.8

Mova $4$ para a esquerda de ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.9

Mova ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.10

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.11.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$