Cálculo Exemplos

$y = \cos^{2} (2 π t + 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cos (2 π t + 3)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 π t + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 π t + 3)$ .

$2 \cos (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 π t + 3$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 π t + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Etapa 3.2

Como $2 π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 π t$ em relação a $t$ é $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]))$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + \frac{d}{d t} [3]))$

Etapa 3.5

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + 0))$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2 π$ e $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π))$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 \sin (2 π t + 3) π)$

Etapa 3.6.3

Reordene os fatores de $- 2 \sin (2 π t + 3) π$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 π \sin (2 π t + 3))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$ .

$- 4 π \cos (2 π t + 3) \sin (2 π t + 3)$