Cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Etapa 1

Divida $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ por $x^{2} - 6 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

Etapa 1.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Etapa 1.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $53 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Etapa 1.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Etapa 1.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $53 x^{2} - 318 x + 424$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Etapa 1.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

Etapa 1.16

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 5

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Etapa 9

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $2$ de $222 x - 422$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1.1

Fatore $2$ de $222 x$ .

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

Etapa 9.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 422$ .

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Etapa 9.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (111 x) + 2 (- 211)$ .

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 9.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

Etapa 9.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Etapa 9.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 9.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.6

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.6.2

Divida $2 (111 x - 211)$ por $1$ .

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Multiplique $111$ por $2$ .

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.8.2

Multiplique $2$ por $- 211$ .

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 9.1.9.4.2

Divida $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Etapa 9.1.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Etapa 9.1.9.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $B$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Etapa 9.1.10

Mova $- 2 A$ .

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Etapa 9.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$222 = A + B$

Etapa 9.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Etapa 9.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Etapa 9.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Resolva $A$ em $222 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 222$ .

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Etapa 9.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Etapa 9.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $222 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 422 = - 2 A - 4 B$ por $222 - B$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Simplifique $- 2 (222 - B) - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $222$ .

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.2.2.1.2

Subtraia $4 B$ de $2 B$ .

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3

Resolva $B$ em $- 422 = - 444 - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Reescreva a equação como $- 444 - 2 B = - 422$ .

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.2.1

Some $444$ aos dois lados da equação.

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.2.2

Some $- 422$ e $444$ .

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.3

Divida cada termo em $- 2 B = 22$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 2 B = 22$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.3.3.1

Divida $22$ por $- 2$ .

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

Etapa 9.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 11$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 222 - B$ por $- 11$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

Etapa 9.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Simplifique $222 - (- 11)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 11$ .

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

Etapa 9.3.4.2.1.2

Some $222$ e $11$ .

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

Etapa 9.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 233, B = - 11$

Etapa 9.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 11

Como $233$ é constante com relação a $x$ , mova $233$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{1} = x - 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 12.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

Etapa 15

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Etapa 16

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 17

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 17.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 17.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 17.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 17.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 17.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 17.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 17.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 18

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 19

Simplifique.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 20

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 20.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 20.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 21

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$