Cálculo Exemplos

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{v + 2}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $v + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de ${(v + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $2 v^{2} + 6 v + 5$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $v + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) {(v + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.2

Reescreva ${(v + 1)}^{2}$ como $(v + 1) (v + 1)$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.3

Expanda $(v + 1) (v + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.4.1.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.2

Multiplique $v$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.3

Multiplique $v$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.4.2

Some $v$ e $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.7

Cancele o fator comum de ${(v + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.7.2

Divida $(B) (v + 2)$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.8

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.9

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.10

Cancele o fator comum de ${(v + 1)}^{2}$ e $v + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.10.1

Fatore $v + 1$ de $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 1.1.7.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.10.2.1

Multiplique por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.10.2.2

Cancele o fator comum.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.1.7.10.2.3

Reescreva a expressão.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

Etapa 1.1.7.10.2.4

Divida $(C) (v + 2) (v + 1)$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

Etapa 1.1.7.11

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

Etapa 1.1.7.12

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

Etapa 1.1.7.13

Expanda $(C v + 2 C) (v + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

Etapa 1.1.7.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

Etapa 1.1.7.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Etapa 1.1.7.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1.1

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.14.1.1.1

Mova $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Etapa 1.1.7.14.1.1.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Etapa 1.1.7.14.1.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Etapa 1.1.7.14.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

Etapa 1.1.7.14.2

Some $C v$ e $2 C v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Etapa 1.1.8.3

Mova $2 B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

Etapa 1.1.8.4

Mova $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.1.8.5

Mova $B v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.1.8.6

Mova $2 v A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = 2 A + B + 3 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $2 = A + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + C = 2$ .

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $6 = 2 A + B + 3 C$ por $2 - C$ .

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $2 (2 - C) + B + 3 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $- 2 C$ e $3 C$ .

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = A + 2 B + 2 C$ por $2 - C$ .

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Some $- C$ e $2 C$ .

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Etapa 1.3.3

Reordene $2$ e $- C$ .

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.4

Resolva $C$ em $5 = 2 + 2 B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $2 + 2 B + C = 5$ .

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.4.2.3

Subtraia $2$ de $5$ .

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $3 - 2 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = - C + 2$ por $3 - 2 B$ .

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Simplifique $- (3 - 2 B) + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5.2.1.2

Some $- 3$ e $2$ .

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Etapa 1.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $6 = 4 + B + C$ por $3 - 2 B$ .

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.5.4

Simplifique $6 = 4 + B + 3 - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.1.1

Remova os parênteses.

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.2.1

Simplifique $4 + B + 3 - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.4.2.1.1

Some $4$ e $3$ .

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.5.4.2.1.2

Subtraia $2 B$ de $B$ .

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6

Resolva $B$ em $6 = - B + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Reescreva a equação como $- B + 7 = 6$ .

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.2.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.3

Divida cada termo em $- B = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.1

Divida cada termo em $- B = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.3.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 2 B - 1$ por $1$ .

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Simplifique $2 (1) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.7.2.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Etapa 1.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 3 - 2 B$ por $1$ .

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

Etapa 1.3.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1

Simplifique $3 - 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.4.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

Etapa 1.3.7.4.1.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Etapa 1.3.8

Liste todas as soluções.

$C = 1, A = 1, B = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

Etapa 1.5

Remova o zero da expressão.

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = v + 2$ . Depois, $d u_{1} = d v$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = v + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v + 2$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Etapa 3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = v + 1$ . Depois, $d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = v + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v + 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $1$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Etapa 8

Deixe $u_{3} = v + 1$ . Depois, $d u_{3} = d v$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{3} = v + 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v + 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Etapa 8.1.4

Como $1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $1$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

Etapa 10.2.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $v + 2$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

Etapa 11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$