Cálculo Exemplos

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Combine $d$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Etapa 1.2

Combine $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 2

Como $d$ é constante com relação a $x$ , mova $d$ para fora da integral.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 2$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $u^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Etapa 6.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{d}{2}$ por $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2.5

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 8.2.6

Reescreva a expressão.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$