Cálculo Exemplos

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Depois, $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , então, $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + 5 e^{- 3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{- 3 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.1.3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Etapa 2.1.3.6

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Etapa 2.1.4

Subtraia $15 e^{- 3 x}$ de $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Etapa 3.2

Combine ${u_{2}}^{2}$ e $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{15}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{15}$ para fora da integral.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{15}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $- 3$ e $15$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$