Cálculo Exemplos

$\frac{x - z}{y + z}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $x - z$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x - z}{y + z}$ em relação a $y$ é $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{y + z}$ como ${(y + z)}^{- 1}$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y + z$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y + z$ .

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + z$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + z$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

Etapa 3.3

Como $z$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $z$ em relação a $y$ é $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ .

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $- - z$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $z$ por $1$ .

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $- x + z$ por $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ .

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $z$ .

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- z)$ .

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- (x - z)$ como $- 1 (x - z)$ .

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$