Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{6}$ e $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{y^{9}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{y^{9}}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{y^{9}}$ como ${(y^{9})}^{- 1}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{9})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 9$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 9$ por $6$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{y^{9}}$ .

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{9})}^{5}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $9$ por $5$ .

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3.3

Combine $- 54$ e $\frac{1}{y^{45}}$ .

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{1}{y^{10}}$ por $\frac{54}{y^{45}}$ .

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $y^{10}$ por $y^{45}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

Etapa 3.3.6.2

Some $10$ e $45$ .

$- \frac{54}{y^{55}}$