Cálculo Exemplos

$\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y - 4$ e $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $y^{2} - 2 y + 8$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2 y + 8$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 2.11

Some $2 y - 2$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(- y + 4) (2 y - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.6

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $2 y$ e $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $- 2 y$ e $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $y$ de $- y^{2} + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $- (y - 8)$ como $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$