Cálculo Exemplos

$\frac{{(y - 1)}^{4}}{{(y^{2} + 2 y)}^{8}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = {(y - 1)}^{4}$ e $g (y) = {(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{8 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{4}$ e $g (y) = y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{4 \cdot {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + 0) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \cdot 1 - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{8}$ e $g (y) = y^{2} + 2 y$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{8}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {u_{2}}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \cdot 1))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3}$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ de $- 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.2

Fatore $y$ de $y^{2} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + y \cdot 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 {(y (y + 2))}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.3

Aplique a regra do produto a $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y - 2 \cdot - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y + 2) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.3

Expanda $(- 2 y + 2) (2 y + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y + 2) + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.4

Combine os termos opostos em $- 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2$ .

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Etapa 7.1.4.4.1

Reorganize os fatores nos termos $- 2 y \cdot 2$ e $2 (2 y)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.4.2

Some $- 2 \cdot 2 y$ e $2 \cdot 2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 0 + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.4.3

Some $- 2 y (2 y)$ e $0$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.4.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.5.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.4.5.2.1

Mova $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.5.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.5.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.4.5.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.1.5

Subtraia $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + 2 y)}^{16}}$

Etapa 7.2.1.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + y \cdot 2)}^{16}}$

Etapa 7.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y (y + 2))}^{16}}$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra do produto a $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $y^{7}$ e $y^{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $y^{7}$ de $4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $y^{7}$ de $y^{16} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de ${(y + 2)}^{7}$ e ${(y + 2)}^{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Fatore ${(y + 2)}^{7}$ de $4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Etapa 7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Fatore ${(y + 2)}^{7}$ de $y^{9} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Etapa 7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Etapa 7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) - (- 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.8

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.9

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.10

Reescreva $- (3 y^{2} - 2 y - 4)$ como $- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Etapa 7.12

Reordene os fatores em $- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$ .

$- \frac{4 {(y - 1)}^{3} (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$