Cálculo Exemplos

$y = x \ln^{2} (3 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln^{2} (3 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (3 x)] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (3 x)$ .

$x (2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{3 x}$ e $2$ .

$x (\frac{2}{3 x} \ln (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{3 x}$ e $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{2 \ln (3 x)}{3 x}$ e $x$ .

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine $3$ e $\frac{2 \ln (3 x)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 4.4.3.1

Fatore $3$ de $6 \ln (3 x)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (3 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4.3.2.4

Divida $2 \ln (3 x)$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) \cdot 1 + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \cdot 1$

Etapa 4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $\ln^{2} (3 x)$ por $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x)$

Etapa 4.8.2

Reordene os termos.

$\ln^{2} (3 x) + 2 \ln (3 x)$