Cálculo Exemplos

$y = x \coth (3 + x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \coth (3 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\coth (3 + x^{2})] + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \coth (x)$ e $g (x) = 3 + x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\coth (u)] \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

A derivada de $\coth (u)$ em relação a $u$ é $- {csch}^{2} (u)$ .

$x (- {csch}^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + x^{2}$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (2 x)) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2}) x) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \cdot 1$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Multiplique $\coth (3 + x^{2})$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2})$

Etapa 9.2

Reordene os termos.

$- 2 x^{2} {csch}^{2} (3 + x^{2}) + \coth (3 + x^{2})$