Cálculo Exemplos

$y = \sin (\tan (8 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (8 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (8 x)$ .

$\cos (\tan (8 x)) \frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x$ .

$\cos (\tan (8 x)) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1)$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x) \cdot 8$

Etapa 3.3.2

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x)$ .

$8 \cdot (\cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $8 \cos (\tan (8 x)) \sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.2

Reescreva $\sec (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$8 {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (8 x)}$ .

$8 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 \frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.5

Combine $8$ e $\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ .

$\frac{8}{\cos^{2} (8 x)} \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.6

Combine $\frac{8}{\cos^{2} (8 x)}$ e $\cos (\tan (8 x))$ .

$\frac{8 \cos (\tan (8 x))}{\cos^{2} (8 x)}$

Etapa 4.7

Fatore $\cos (8 x)$ de $\cos^{2} (8 x)$ .

$\frac{8 \cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 4.8

Separe as frações.

$\frac{8}{\cos (8 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x)}$

Etapa 4.9

Reescreva $\frac{\cos (\tan (8 x))}{\cos (8 x)}$ como um produto.

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \frac{1}{\cos (8 x)})$

Etapa 4.10

Escreva $\cos (\tan (8 x))$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\frac{\cos (\tan (8 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)})$

Etapa 4.11

Simplifique.

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Etapa 4.11.1

Divida $\cos (\tan (8 x))$ por $1$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \frac{1}{\cos (8 x)})$

Etapa 4.11.2

Converta de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ em $\sec (8 x)$ .

$\frac{8}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Etapa 4.12

Separe as frações.

$\frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Etapa 4.13

Converta de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ em $\sec (8 x)$ .

$\frac{8}{1} \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Etapa 4.14

Divida $8$ por $1$ .

$8 \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$

Etapa 4.15

Multiplique $8 \sec (8 x) (\cos (\tan (8 x)) \sec (8 x))$ .

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Etapa 4.15.1

Eleve $\sec (8 x)$ à potência de $1$ .

$8 (\sec^{1} (8 x) \sec (8 x)) \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.15.2

Eleve $\sec (8 x)$ à potência de $1$ .

$8 (\sec^{1} (8 x) \sec^{1} (8 x)) \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 {\sec (8 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (8 x))$

Etapa 4.15.4

Some $1$ e $1$ .

$8 \sec^{2} (8 x) \cos (\tan (8 x))$