Cálculo Exemplos

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $7 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ em relação a $y$ é $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ como ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 2}$ e $g (y) = 7 x + 13 y$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 13 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Etapa 3.3

Como $7 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Etapa 3.5

Como $13$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $13 y$ em relação a $y$ é $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Mova $13$ para a esquerda de ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.6.2

Multiplique $13$ por $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Etapa 3.8

Multiplique ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ por $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 182$ e $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Etapa 4.2.3

Mova $- 182$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Etapa 4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$