Cálculo Exemplos

$π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}]$ .

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Etapa 2.1

Como $π$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $π e^{\sin (x + y)}$ em relação a $y$ é $π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}]$ .

$π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \sin (x + y)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x + y)$ .

$π (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$π (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x + y)$ .

$π (e^{\sin (x + y)} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x + y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.5

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + 1))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.7

Some $0$ e $1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 2.8

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1

Como $- \frac{π}{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{π}{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + 0$

Etapa 3.2

Some $π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$ e $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$