Cálculo Exemplos

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $3 x + 8 y$ por $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 8 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 y$ em relação a $y$ é $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique os termos.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Subtraia $8 y$ de $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.9.3

Some $3 x$ e $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 3.9.4

Combine $x$ e $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$