Cálculo Exemplos

$x e^{\frac{x}{y}}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x e^{\frac{x}{y}}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Etapa 3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $e^{\frac{x}{y}}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Etapa 9.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$