Cálculo Exemplos

$\frac{x - y}{x + y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = x - y$ e $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 1 (x + y)$ como $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- - y$ .

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $- x - y - x + y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $- y$ e $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $- x - x$ e $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$