Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 1 = \frac{A {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 3)}^{2}$ e $x + 3$ .

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Etapa 1.1.6.2.1

Fatore $x + 3$ de $(B) {(x + 3)}^{2}$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x - 1 = A + \frac{(x + 3) (B (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Etapa 1.1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x - 1 = A + \frac{B (x + 3)}{1}$

Etapa 1.1.6.2.2.4

Divida $B (x + 3)$ por $1$ .

$x - 1 = A + B (x + 3)$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 1 = A + B x + B \cdot 3$

Etapa 1.1.6.4

Mova $3$ para a esquerda de $B$ .

$x - 1 = A + B x + 3 B$

Etapa 1.1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$x - 1 = B x + A + 3 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A + 3 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

$1 = B$

$- 1 = A + 3 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $B = 1$ .

$B = 1$

$- 1 = A + 3 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 1 = A + 3 B$ por $1$ .

$- 1 = A + 3 (1)$

$B = 1$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

$- 1 = A + 3$

$B = 1$

Etapa 1.3.3

Resolva $A$ em $- 1 = A + 3$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $A + 3 = - 1$ .

$A + 3 = - 1$

$B = 1$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$A = - 1 - 3$

$B = 1$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

$A = - 4$

$B = 1$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = - 4 B = 1$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 4, B = 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- 4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- (4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 9.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$- 4 (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4 \frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{4}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 3$ .

$\frac{4}{x + 3} + \ln (| x + 3 |) + C$