Cálculo Exemplos

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = 2 x + 3$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 6.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 7.3

Combine $\frac{\csc (u_{1})}{2}$ e $\cot (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 9

Como a derivada de $- \csc (u_{1})$ é $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ , a integral de $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ é $- \csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 6 - 5 x$ . Depois, $d u_{2} = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 6 - 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $6 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

Etapa 11.1.2

Diferencie.

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Etapa 11.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 11.1.2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 11.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 11.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Etapa 11.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Etapa 11.1.4

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

Etapa 12.2

Combine $\sqrt[5]{u_{2}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ por $1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Etapa 15

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 16

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

Etapa 17

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Simplifique.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

Etapa 18.2

Simplifique.

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Etapa 18.2.1

Combine $\frac{5}{6}$ e ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Etapa 18.2.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Etapa 18.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

Etapa 18.2.4

Fatore $5$ de $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

Etapa 18.2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.2.5.1

Fatore $5$ de $30$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Etapa 18.2.5.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Etapa 18.2.5.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Etapa 19

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 19.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 3$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Etapa 19.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 - 5 x$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Etapa 20

Reordene os termos.

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$