Cálculo Exemplos

$(1 - t) e^{2 t - t^{2}}$

Etapa 1

Deixe $u = 2 t - t^{2}$ . Depois, $d u = (2 - 2 t) d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = (1 - t) d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 t - t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [2 t - t^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 - (2 t)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 t$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$- 2 t + 2$

Etapa 1.1.6

Reorganize os termos.

$2 - 2 t$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t - t^{2}} + C$