Cálculo Exemplos

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = z$ e $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ .

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = \ln (z)$ e $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ e $z$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.2

Como $x^{2} y$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $x^{2} y \cos (z)$ em relação a $z$ é $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3.2

Combine $y$ e $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 4

A derivada de $\cos (z)$ em relação a $z$ é $- \sin (z)$ .

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 5

Combine $\frac{z}{\cos (z)}$ e $\sin (z)$ .

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 6

Converta de $\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ em $z \tan (z)$ .

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

Etapa 8

Multiplique $\ln (x^{2} y \cos (z))$ por $1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$