Cálculo Exemplos

$p (z) = z {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = z$ e $g (z) = {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$z \frac{d}{d z} [{(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{\frac{4}{3}}$ e $g (z) = 6 z + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 z + 1$ .

$z (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 z + 1$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{4}{3}$ e ${(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z (\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $z$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 z + 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 9

Como $6$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $6 z$ em relação a $z$ é $6 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 11

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + 0) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 13

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1

Some $6$ e $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \cdot 6 + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 13.2

Combine $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3}$ e $6$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z \cdot 6}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 13.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 13.4

Fatore $3$ de $24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 (1)} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 \cdot 1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 14.4

Divida $8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ por $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 1$

Etapa 16

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.1

Multiplique ${(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ por $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 16.2

Reordene os termos.

$8 z {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$