Cálculo Exemplos

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Etapa 1

Escreva $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49 x$ em relação a $x$ é $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $49$ por $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 28 x + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 28 x$ em relação a $x$ é $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 + \frac{d}{d x} (49)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 28 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x - 28$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 28$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49 x$ em relação a $x$ é $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $49$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 28 x + 49$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 28 x + 49$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Etapa 6.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 49 = 147$ e cuja soma é $b = - 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $- 28$ de $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $- 28$ como $- 7$ mais $- 21$

$3 x^{2} + (- 7 - 21) x + 49 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 7 x - 21 x + 49 = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 7 x) - 21 x + 49 = 0$

Etapa 6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x - 7) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 6.4

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $3 x - 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 6.5

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 7) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{7}{3}, 7$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{7}{3}, 7$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{7}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{7}{3}) - 28$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{7}{3} - 28$

Etapa 10.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 28$

Etapa 10.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 7 - 28$

Etapa 10.1.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 - 28$

Etapa 10.2

Subtraia $28$ de $14$ .

$- 14$

Etapa 11

$x = \frac{7}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7}{3}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{7}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7}{3}$ na expressão.

$f (\frac{7}{3}) = {(\frac{7}{3})}^{3} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{7^{2}}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.5

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{49}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 (\frac{49}{9}) + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.7

Multiplique $- 14 (\frac{49}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.7.1

Combine $- 14$ e $\frac{49}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 14 \cdot 49}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.7.2

Multiplique $- 14$ por $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

Etapa 12.2.1.9

Multiplique $49 (\frac{7}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.9.1

Combine $49$ e $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{49 \cdot 7}{3}$

Etapa 12.2.1.9.2

Multiplique $49$ por $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{343}{3}$

Etapa 12.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Multiplique $\frac{686}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - (\frac{686}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{343}{3}$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{686}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3}$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $\frac{343}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 12.2.2.4

Multiplique $\frac{343}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Etapa 12.2.2.5

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Etapa 12.2.2.6

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Etapa 12.2.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{27}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 686 \cdot 3 + 343 \cdot 9}{27}$

Etapa 12.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $- 686$ por $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 343 \cdot 9}{27}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $343$ por $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 3087}{27}$

Etapa 12.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Subtraia $2058$ de $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 1715 + 3087}{27}$

Etapa 12.2.5.2

Some $- 1715$ e $3087$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1372}{27}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{1372}{27}$ .

$y = \frac{1372}{27}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 7$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (7) - 28$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $6$ por $7$ .

$42 - 28$

Etapa 14.2

Subtraia $28$ de $42$ .

$14$

Etapa 15

$x = 7$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 7$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = {(7)}^{3} - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f (7) = 343 - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (7) = 343 - 14 \cdot 49 + 49 (7)$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 14$ por $49$ .

$f (7) = 343 - 686 + 49 (7)$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $49$ por $7$ .

$f (7) = 343 - 686 + 343$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $686$ de $343$ .

$f (7) = - 343 + 343$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 343$ e $343$ .

$f (7) = 0$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ .

$(\frac{7}{3}, \frac{1372}{27})$ é um máximo local

$(7, 0)$ é um mínimo local

Etapa 18