Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y^{2} + 1}$ como ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4

Multiplique $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = {(2 y + 1)}^{3}$ e $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = 2 y + 1$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.6

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.7.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 9.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = y^{2} + 1$ .

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Etapa 10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 10.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 15

Combine frações.

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Etapa 15.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 15.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 15.3

Mova ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 15.4

Combine $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

Etapa 16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Etapa 18

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

Etapa 19

Simplifique os termos.

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Etapa 19.1

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

Etapa 19.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Etapa 19.3

Combine $- 2$ e $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Etapa 19.4

Combine $\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 19.5

Fatore $2$ de $- 2 {(2 y + 1)}^{3} y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.1

Fatore $2$ de $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

Etapa 20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 22

Para escrever $6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 24

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 24.1

Mova ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 24.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 24.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 24.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 24.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 25

Simplifique $6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Etapa 26

Reescreva $\frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ como um produto.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} (\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

Etapa 27

Multiplique $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

Etapa 28

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 28.1

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $y^{2} + 1$ .

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Etapa 28.1.1

Eleve $y^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 28.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 28.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 28.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29

Multiplique $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ por $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y)}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 30

Mova ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 31

Simplifique o denominador.

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Etapa 31.1

Multiplique ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 31.1.1

Mova ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 31.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 31.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Etapa 31.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 31.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 31.2

Simplifique ${(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32

Simplifique.

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Etapa 32.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 32.2.1

Fatore ${(2 y + 1)}^{2}$ de $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y$ .

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Etapa 32.2.1.1

Fatore ${(2 y + 1)}^{2}$ de $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.1.2

Fatore ${(2 y + 1)}^{2}$ de $- {(2 y + 1)}^{3} y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.1.3

Fatore ${(2 y + 1)}^{2}$ de ${(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.7

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 32.2.7.1

Mova $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.7.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.8

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.9

Subtraia $2 y^{2}$ de $6 y^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} + 6 - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.2.10

Reordene os termos.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Etapa 32.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 32.3.1

Fatore ${(2 y + 1)}^{2}$ de ${(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Etapa 32.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Etapa 32.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y^{2} - y + 6}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$