Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = x + y$ e $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique $1 - x y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.10

Multiplique.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ por $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Combine os termos opostos em $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

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Etapa 4.3.1.1

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Some $1 + x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ e ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Etapa 4.4.4

Cancele o fator comum de ${(1 - x y)}^{2}$ .

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Etapa 4.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Etapa 4.4.4.2

Divida ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Reescreva ${(1 - x y)}^{2}$ como $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Expanda $(1 - x y) (1 - x y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.2

Multiplique $- x y$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.3.1.5.1

Mova $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.6

Multiplique $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.6.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.1.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.3.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Etapa 4.6.4

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Etapa 4.6.5

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Etapa 4.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Etapa 4.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Etapa 4.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Etapa 4.6.6.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Etapa 4.6.6.2

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 4.6.6.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Etapa 4.6.6.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Etapa 4.6.7

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Etapa 4.6.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Etapa 4.6.9

Reescreva $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.6.9.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.6.9.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Etapa 4.6.9.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Etapa 4.6.9.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$