Cálculo Exemplos

$x y - \cot (x y)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - \cot (x y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 2.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$

Etapa 2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \cot (x y)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \cot (x y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [\cot (x y)]$ .

$x - \frac{d}{d y} [\cot (x y)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cot (y)$ e $g (y) = x y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$x - (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$x - (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$x - (- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y])$

Etapa 3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x - (- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x - (- \csc^{2} (x y) (x \cdot 1))$

Etapa 3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$x - (- \csc^{2} (x y) x)$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 (\csc^{2} (x y) x)$

Etapa 3.7

Multiplique $\csc^{2} (x y)$ por $1$ .

$x + \csc^{2} (x y) x$

Etapa 4

Reordene os termos.

$x \csc^{2} (x y) + x$