Cálculo Exemplos

$y = \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \csc (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.2.1.1

Multiplique $- \csc (x) \cot (x)$ por $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.1.3

Multiplique $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Etapa 3.10.2.1.3.1

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.1.3.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.2

Combine os termos opostos em $- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Etapa 3.10.2.2.1

Some $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ e $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.2.2.2

Some $- \csc (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$