Cálculo Exemplos

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 2.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.1

Combine $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ e $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 2.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Etapa 2.3

Como $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $y$ é $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ por $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 10 y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Etapa 4.3

Como $5 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Etapa 4.4

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

Etapa 4.5

Como $10$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $10 y^{3}$ em relação a $y$ é $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Etapa 4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.6.1

Combine $10$ e $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 4.6.2

Multiplique $10$ por $6$ .

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 4.6.3

Fatore $5$ de $60$ .

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $5$ de $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Combine $3$ e $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $12$ .

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Etapa 7.3

Combine $\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.5.2

Some $4$ e $3$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 8.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.4.1

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ .

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Etapa 8.4.1.1

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

Etapa 8.4.1.2

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

Etapa 8.4.1.3

Fatore $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

Etapa 8.4.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$