Cálculo Exemplos

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{z - 1}$ como ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{- 1}$ e $g (z) = z - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z - 1$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 1$ em relação a $z$ é $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.6

Some $1$ e $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = - 1$ e $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{z}$ como $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 1$ em relação a $z$ é $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Etapa 3.6

Multiplique $z^{- 2}$ por $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{z}$ por $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

Etapa 3.8

Some $z^{- 2}$ e $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Etapa 6

Reordene os termos.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$