Cálculo Exemplos

$(4 - z^{2}) (z^{3} - 2 z + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = 4 - z^{2}$ e $g (z) = z^{3} - 2 z + 2$ .

$(4 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 2] + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z^{3} - 2 z + 2$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]$ .

$(4 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 2 z$ em relação a $z$ é $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $2$ em relação a $z$ é $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.7

Some $3 z^{2} - 2$ e $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - z^{2}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 2.9

Como $4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $4$ em relação a $z$ é $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [- z^{2}]$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z^{2}$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- (2 z))$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- 2 z)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.3

Multiplique $z^{2}$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1

Mova $z^{2}$ .

$12 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.3.3

Some $2$ e $2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + 2 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.6

Some $12 z^{2}$ e $2 z^{2}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.7

Multiplique $z^{3}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $z$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $z$ por $z^{3}$ .

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Etapa 3.5.7.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.7.3

Some $1$ e $3$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{4} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $z^{4}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 \cdot z^{4} - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z \cdot z + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.10

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.11

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z^{1}) + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{1 + 1} + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.13

Some $1$ e $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} + 2 (- 2 z)$

Etapa 3.5.14

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} - 4 z$

Etapa 3.5.15

Subtraia $2 z^{4}$ de $- 3 z^{4}$ .

$14 z^{2} - 5 z^{4} - 8 + 4 z^{2} - 4 z$

Etapa 3.5.16

Some $14 z^{2}$ e $4 z^{2}$ .

$18 z^{2} - 5 z^{4} - 8 - 4 z$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$- 5 z^{4} + 18 z^{2} - 4 z - 8$