Cálculo Exemplos

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{7}$ e $g (z) = \ln (z)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (z)$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (z)$ em relação a $z$ é $\frac{1}{z}$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{z}$ e $7$ .

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 2.4

Combine $\frac{7}{z}$ e $\ln^{6} (z)$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = \ln (z)$ e $g (z) = z^{7}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

Etapa 3.3

Combine $7$ e $\frac{1}{z^{7}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{7}{z^{7}}$ e $z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $z^{6}$ e $z^{7}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $z^{6}$ de $7 z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $z^{6}$ de $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$