Cálculo Exemplos

$y = x^{5} e^{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} e^{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$

Etapa 3.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$