Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = \ln (z)$ e $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ por $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Etapa 4

Como $x^{40} y^{30}$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ em relação a $z$ é $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine $x^{40}$ e $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Etapa 5.2

Combine $y^{30}$ e $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $y^{30}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x^{40}$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Etapa 5.4.2

Divida $z^{20}$ por $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Etapa 5.5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.5.1

Reescreva $\frac{1}{z^{20}}$ como ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Etapa 5.5.2

Multiplique os expoentes em ${(z^{20})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Etapa 5.5.2.2

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Etapa 7

Multiplique $z^{20}$ por $z^{- 21}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Etapa 7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Etapa 7.3

Some $- 21$ e $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Etapa 8

Mova $- 20$ para a esquerda de $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Combine $- 20$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20}{z}$