Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{z - 9}{z + 9}}$ como ${(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ e $g (z) = \frac{z - 9}{z + 9}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{z - 9}{z + 9}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 9}{z + 9}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ é $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , em que $f (z) = z - 9$ e $g (z) = z + 9$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \frac{d}{d z} [z - 9] - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z - 9$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + \frac{d}{d z} [- 9]) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.3

Como $- 9$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 9$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) (1 + 0) - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 9) \cdot 1 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $z + 9$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \frac{d}{d z} [z + 9]}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z + 9$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + \frac{d}{d z} [9])}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.7

Como $9$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $9$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) (1 + 0)}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.8

Combine frações.

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Etapa 9.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9) \cdot 1}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$

Etapa 9.8.3

Multiplique $\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{{(z + 9)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.8.4

Mova $2$ para a esquerda de ${(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 \cdot {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z - 9}{z + 9})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} {(\frac{z + 9}{z - 9})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{z + 9}{z - 9}$ .

$\frac{z + 9 - (z - 9)}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z + 9 - z - - 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4

Combine os termos.

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Etapa 10.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{z + 9 - z + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.2

Subtraia $z$ de $z$ .

$\frac{0 + 9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.3

Some $0$ e $9$ .

$\frac{9 + 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.4

Some $9$ e $9$ .

$\frac{18}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.5

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

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Etapa 10.4.5.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2 {(z + 9)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 ({(z + 9)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 9}{2 {(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.6

Multiplique $\frac{9}{{(z + 9)}^{2}}$ por $\frac{{(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 {(z + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.7

Mova ${(z + 9)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}} {(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8

Multiplique ${(z + 9)}^{2}$ por ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.4.8.1

Mova ${(z + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 9)}^{2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.8.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10.4.8.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{9}{{(z + 9)}^{\frac{3}{2}} {(z - 9)}^{\frac{1}{2}}}$