Cálculo Exemplos

$x z e^{y z}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $x z e^{y z}$ em relação a $z$ é $x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$ .

$x \frac{d}{d z} [z e^{y z}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = z$ e $g (z) = e^{y z}$ .

$x (z \frac{d}{d z} [e^{y z}] + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = y z$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y z$ .

$x (z (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (z (e^{u} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y z$ .

$x (z (e^{y z} \frac{d}{d z} [y z]) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $y$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $y z$ em relação a $z$ é $y \frac{d}{d z} [z]$ .

$x (z (e^{y z} (y \frac{d}{d z} [z])) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} (y \cdot 1)) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 4.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \frac{d}{d z} [z])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z} \cdot 1)$

Etapa 4.5

Multiplique $e^{y z}$ por $1$ .

$x (z (e^{y z} y) + e^{y z})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (z (e^{y z} y)) + x e^{y z}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$e^{y z} x y z + e^{y z} x$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $e^{y z} x y z + e^{y z} x$ .

$x y z e^{y z} + x e^{y z}$