Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{- 3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$15 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 3.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{7}}$ como $x^{\frac{7}{4}}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $4$ de $7$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.2

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$15 x^{4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 5.4

Combine $\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{6}{x^{4}}$