Cálculo Exemplos

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x e^{2 x^{5}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{5}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{5}$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Some $4$ e $1$ .

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Mova $10$ para a esquerda de $e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique $e^{2 x^{5}}$ por $1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

Etapa 10.2

Multiplique $10$ por $3$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

Etapa 10.4

Reordene os fatores em $30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$