Cálculo Exemplos

$y = 4 \arctan (3 x^{4})$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \arctan (3 x^{4})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 (x^{4})$ .

$4 (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ e $4$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.1

Combine $3$ e $\frac{4}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} (4 x^{3})$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Combine $4$ e $\frac{12}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{48}{1 + 9 x^{8}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{48 x^{3}}{1 + 9 x^{8}}$

Etapa 3.6.4

Reordene os termos.

$\frac{48 x^{3}}{9 x^{8} + 1}$