Cálculo Exemplos

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (2 x^{5})$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2 x^{5}}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{5}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique por $1$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $x^{3}$ de $2 x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.6.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{5}{x^{2}}$ e $x^{4}$ .

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.6.3.1

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.6.3.2.4

Divida $5 x^{2}$ por $1$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$