Cálculo Exemplos

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sec (x^{2})$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $\sec (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.2

Multiplique $10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Etapa 6.4.2.1

Combine $10$ e $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.2.2

Combine $\frac{10}{\cos (x^{2})}$ e $x$ .

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.2.3

Combine $\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.3

Reescreva $\tan (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.4

Combine.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.5.1

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.5.2

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Etapa 6.4.6

Reescreva $\sec (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Etapa 6.4.7

Combine $- 5$ e $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Etapa 6.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Etapa 6.4.9

Combine $\sin (x)$ e $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.4.10

Mova $5$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Fatore $\cos (x^{2})$ de $\cos^{2} (x^{2})$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.2

Separe as frações.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.3

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ como um produto.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.4

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.5.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.5.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ em $\sec (x^{2})$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.6

Separe as frações.

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.7

Converta de $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ em $\tan (x^{2})$ .

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.8

Divida $10 x$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Etapa 6.5.9

Separe as frações.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

Etapa 6.5.10

Reescreva $\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ como um produto.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Etapa 6.5.11

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Etapa 6.5.12

Simplifique.

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Etapa 6.5.12.1

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Etapa 6.5.12.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ em $\sec (x^{2})$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Etapa 6.5.13

Divida $5$ por $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Etapa 6.5.14

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$