Cálculo Exemplos

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\log (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Multiplique $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14.4

Divida $0$ por $2$ .

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Simplifique $x^{0}$ .

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (10)$ .

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Etapa 17

Multiplique $\log (x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18.2

Combine os termos.

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Etapa 18.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18.3

Reordene os termos.

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$